全微分可能ならば偏微分可能である

\(f(x,y)\)が\((x,y)=(a,b)\)で全微分可能であることの定義は以下である．

\[\lim_{(h,k)\to(0,0)}\dfrac{|f(a+h,b+k)-f(a,b)-\lambda_1h-\lambda_2k|}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\tag{1}\]
を満たす，定数\(\lambda_1,\lambda_2\)が存在する．

全微分可能性を利用して，偏微分可能性を証明する．

\(f(x,y)\)が\((x,y)=(a,b)\)で全微分可能であることは，（1）を満たす定数\(\lambda_1,\lambda_2\)が存在することである．
つまり，点\((h,k)\)がどのように原点\((0,0)\)へ近づいても
\[\dfrac{|f(a+h,b+k)-f(a,b)-\lambda_1h-\lambda_2k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\]
は\(0\)に近づく．

（i）\(x\)について偏微分可能であることの証明

そこで，点\((h,k)\)が\(x\)軸\((y=0)\)に沿って原点\((0,0)\)に近づくとき，\(k=0\)とおくと，
点\((h,0)\)がどのように原点\((0,0)\)へ近づくので，
\[\dfrac{|f(a+h,b)-f(a,b)-\lambda_1h|}{\sqrt{h^2}}\]
が\(h\to 0\) のときに，限りなく\(0\)に近づく．
つまり，
\begin{align*}
& \lim_{h\to 0}\dfrac{|f(a+h,b)-f(a,b)-\lambda_1h|}{\sqrt{h^2}}=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{h\to 0}\dfrac{|f(a+h,b)-f(a,b)-\lambda_1h|}{|h|}=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{h\to 0}\left|\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}-\lambda_1\right|=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{h\to 0}\left|\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\right|=|\lambda_1|\\
\Leftrightarrow & \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=\lambda_1 \tag*{(2)}
\end{align*}
（2）より，\(f(x,y)\)は\(y\)について偏微分可能である．

（ii）\(y\)について偏微分可能であることの証明

そこで，点\((h,k)\)が\(y\)軸\((x=0)\)に沿って原点\((0,0)\)に近づくとき，\(h=0\)とおくと，
点\((0,k)\)がどのように原点\((0,0)\)へ近づくので，
\[\dfrac{|f(a,b+k)-f(a,b)-\lambda_2k|}{\sqrt{k^2}}\]
が\(k\to 0\) のときに，限りなく\(0\)に近づく．
つまり，
\begin{align*}
& \lim_{k\to 0}\dfrac{|f(a,b+k)-f(a,b)-\lambda_2k|}{\sqrt{k^2}}=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{k\to 0}\dfrac{|f(a,b+k)-f(a,b)-\lambda_2k|}{|k|}=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{k\to 0}\left|\dfrac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}-\lambda_2\right|=0\\
\Leftrightarrow & \lim_{k\to 0}\left|\dfrac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}\right|=|\lambda_2|\\
\Leftrightarrow & \lim_{k\to 0}\dfrac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}=\lambda_2 \tag*{(3)}
\end{align*}
（3）より，\(f(x,y)\)は\(y\)について偏微分可能である．

(i)(ii)より，\(f(x,y)\)が\((a,b)\)について全微分可能であれば，\(f(x,y)\)は偏微分可能である．