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テストとらっきょう

私は生まれつきネーミングセンスがないので,毎回ブログのタイトルに困る.
今日書きたいことを羅列するだけのタイトルをいい加減卒業したい.

らっきょうが大好物

私はらっきょうが大好物だ.特にカレーと合わせて食べると美味い.
ところで我が家に賞味期限が切れかけらっきょうがあった.

今夜はカレーだったのだが,ここぞというばかりらっきょうをのせたので,『果たしてどっちがメインか論争』が起こるところだった.
まぁ,メインはカレーであることは一目瞭然なので,話を盛ってしまった.だけど,カレーの附属としてらっきょうがあるのか,らっきょうのためにカレーが存在するのか怪しいのは事実.

テスト初日

今日は数学と情報科学のテストがあった.
数学のテストに関して,満点の自信が割とあるので喜びたいところだが,ここで気を抜いては後のテストがおじゃんになりかねないので,謙虚に落ち着いて残りの勉強を進めたい.
ちなみに情報科学は詰んだ.

微分積分学2 積分の定義

TeXコマンドがちゃんと機能するかのテストも含めて今日の第一問にあった問いと解答を書きたい.
この問いは中間テストにも出題された.一発目の講義で習った内容だ.


f(x)を閉区間[a,b]で有界な関数とする.

f(x)が定積分可能であることの定義を述べよ.ただし,a<bとする.

回答


任意の分割 \Delta  a = x_0 < x_1 <\ldots< x_n = bを考える.

任意の c_i\in[x_i-x_{i-1}] (i=1,2,\ldots n)に対して,\sum_{i=1}^{n}{f(c_i)(x_i-x_{i-1})}を考える.

ここで,x_i-x_{i-1}(i=1,2,\ldots n)の最大値を\left| \Delta \right|とおく.

\Delta の分割の方法,および任意のc_i\in [x_{i-1},x_{i}]の選び方によらず,極限

\lim_{\left|\Delta\right|\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(c_i)(x_i-x_{i-1})}}

が存在する時,この極限値を定積分と呼び,\int^{b}_{a}{f(x)dx}と表す.

この時,f(x)は定積分可能(可積分)であるという.